Sunforger

论文读到指数型分布族相关内容，遂做一个整理。不尽准确，望大佬们不吝指教。

指数分布族 Exponential Family 也称为指数族、指数族分布，是统计中最重要的参数分布族。

学习指数型分布族，应当与指数分布 Exponential Distribution 区分开来。两者并不是同一个东西。

所谓 “族”，英语里中称为 family，通常是具有相似特征的一类。指数型分布族是一组分布，其概率密度函数和概率分布函数随着分布参数的变化而变化。

常见的指数型分布族包括：
正态分布、卡方分布、二项分布、多项分布、Poisson 分布、Pascal 分布、 $\beta$分布、 $\Gamma$分布、对数正态分布等等。具体可见维基百科词条和知乎专栏。

指数分布族#

指数型分布族 exponential family 的概率密度函数有以下表现形式：

其中，$\theta$ 是唯一的参数，满足上式的所有 $\theta$ 构成参数空间 $\Theta$，对应的参数分布族 $\{P_\theta:\theta\in\Theta\}$ 是指数族。必须注意，这里的参数 $\theta$ 不局限于狭隘的实数，也可以是 $n$ 维向量 $\theta\in \mathbb{R}^n$。

参数 $\theta$ 改变，分布 $X$ 的形态（概率密度函数、概率分布函数以及对应的图像）也将改变。随机变量 $x$ 服从于分布 $X$。函数 $T(x), h(x), \eta(\theta), A(\theta)$ 都是已知函数。函数 $h(x)$ 为非负函数。

$h(x)$ 通常被称为是基础度量 base measure.

$T(x)$ 是充分统计量 sufficient statistic.

$A(\theta)$ 是累积量生成函数 cumulant generating function 或称为对数配分函数（配分函数的对数） log-partition function 。显然 $A(\theta)$ 是实值函数，返回一个实数。

其中，$\eta(\theta)$ 与 $T(x)$ 可以是实数，也可以是向量。

由定义式子可以看出，根据指数函数的性质 $\exp\{\cdot\} = e^{\{\cdot\}} > 0$ 是非负的。所以指数族的支撑集只与 $h(x)$ 有关。也就是说，只与 $x$ 有关，而与未知参数 $\theta$ 无关。我们利用这一点，可以排除非指数型分布族（比如均匀分布）。

这里需要简单补充一下所谓支撑集的概念。简单来说，对于实值函数 $f$ 而言， $f$ 的支撑集定义为：

Copy$$\text{supp}(f)=\{x\in X:f(x)\neq0\}$$

支撑集是函数 $f$ 原定义域 $X$ 的一个子集。了解更多，可以参考 维基百科词条 或 CSDN 博客。在概率密度函数中，由于概率非负，可以定义随机变量的支撑集为（见 知乎专栏）：

Copy$$\text{supp}(X) =\{x\in R : f_X(x)\gt 0\}$$

几种等价形式#

基于指数的运算法则，通过等价变换，给出指数族的两种等价形式：

$f_\mathbf{X}(x;\theta) = h(x)g(\theta)\exp\{\langle\eta(\theta), T(x)\rangle\}$

$f_\mathbf{X}(x;\theta) = \exp\{\langle\eta(\theta), T(x)\rangle-A(\theta)+B(x)\}$

对应的替换关系是：$-A(\theta) = \ln g(\theta)$，$B(x)=\ln h(x)$

特别地，我们取 $Z(\theta) = \dfrac{1}{g(\theta)}$, 可以得到另一中非常常见的指数族的表达式如下。其中 $Z(\theta)$ 是这个分布的配分函数 partition function。

规范形式#

上述定义式中，$\eta(\theta)$ 是关于参数 $\theta$ 的一个函数。在指数族中，我们要求 $\eta(\cdot)$ 是一个双射函数（也就是一一对应函数）。双射意味着函数单调可导，且存在反函数。

我们借助双射函数的特性，就可以简化指数族的形式。令 $\hat\theta = \eta(\theta)$，当然，这个变化是可逆的 $\theta = \eta^{-1}(\hat\theta)$。 于是，我们得到：$f_\mathbf{X}(x;\hat\theta) = h(x)\exp\{\langle\hat\theta, T(x)\rangle-A^\prime(\hat\theta)\}$

等价替换一下符号，我们得到指数族规范形式 Canonical Form 如下：

我们通常把更新过后的这个参数 $\theta$ 称为指数族的规范参数（或自然参数）。

自然形式#

虽然在定义上各有各的说法，但一般认为指数族的自然形式 Natural Form 和规范形式两者等同或几乎等同。例如斯坦福大学材料，伯克利大学材料，麻省理工课件，博客，知乎专栏 1 以及 知乎专栏 2。

维基百科提供了另一种理解，这里不做介绍。

自然参数空间#

介绍自然参数空间 Natural Parameter Space 之前，我们首先介绍对数配分函数 log-partition function $A(\theta)$

所谓配分函数，可以理解为归一化常数的一种特殊形式。

对数配分函数 $A(\theta)$ 使得 $f_\mathbf{X}(x;\theta)$ 得以归一化，也就是说，保证了 $f_\mathbf{X}(x;\theta)$ 是一个概率密度函数。理解这个归一化，可以参考上文 几种等价形式 小节中的这个表达式

其中$Z(\theta) = \int_X h(x)\exp\{\langle\theta, T(x)\rangle\}~{\rm d}x$是与 $x$ 无关的一个函数。然后把两边式子同时积分，得到

所谓自然参数空间，就是使配分函数有限 ($\lt \infty$) 时的参数 $\theta$ 的集合，即：

自然参数空间有这一些特殊的性质。首先，自然参数空间 $\mathcal N$ 是一个凸集 Convex Set，对数配分函数 $A(\theta)$ 是一个凸函数 Convex Function。证明如下：

考虑两个不同的参数 $\theta_1\in\mathcal N,~\theta_2\in\mathcal N$，给定 $0\lt\lambda\lt 1$ 证明 $\theta=\lambda\theta_1+(1-\lambda)\theta_2$ 也在自然参数空间 $\mathcal N$ 内（即证明 $\theta\in\mathcal N$ 也成立）

Copy$$\begin{aligned} Z(\theta) &= \exp\{A(\theta)\} = \exp\{A(\lambda\theta_1+(1-\lambda)\theta_2)\}\\ &=\int_X h(x)\exp\{\langle(\lambda\theta_1+(1-\lambda)\theta_2), T(x)\rangle\}~{\rm d}x \\ & = \int_X \left(h(x)^{\lambda}\exp\{\langle\lambda\theta_1, T(x)\rangle \}\right)\left(h(x)^{1-\lambda}\exp\{\langle(1-\lambda)\theta_2, T(x)\rangle\}\right)~{\rm d}x \\ &\leq \left(\int_X h(x)\exp\{\frac1\lambda\langle\lambda\theta_1, T(x)\rangle\} ~{\rm d}x \right)^\lambda \left(\int_X h(x)\exp\{\frac1{1-\lambda}\langle(1-\lambda)\theta_2, T(x)\rangle\} ~{\rm d}x \right)^{1-\lambda} \\ &=Z(\theta_1)^\lambda \cdot Z(\theta_2)^{1-\lambda} \end{aligned}$$

上式中的 $\leq$ 来自于赫尔德不等式 Hölder's inequality 其定义可以参考 Wolfram MathWorld 或 知乎专栏。 值得一提的是，著名的数学软件 Mathematica 就是 Wolfram Research 公司开发的。

因为 $\theta_1,\theta_2\in \mathcal N$ 即 $Z(\theta_1),Z(\theta_2)\lt\infty$ 成立。所以 $Z(\theta) = Z(\theta_1)^\lambda \cdot Z(\theta_2)^{1-\lambda} \lt \infty$ 也成立，根据定义，即可得 $\theta\in\mathcal N$。于是可以证明自然参数空间 $\mathcal N$ 是一个凸集。

将上式取对数，得到：

Copy$$A(\theta) = A(\lambda\theta_1+(1-\lambda)\theta_2) \leq \lambda A(\theta_1) + (1-\lambda)A(\theta_2)$$

于是可以证明，对数配分函数 $A(\theta)$ 是一个凸函数。当 $\theta_1\neq\theta_2$ 时，Hölder's inequality 无法取到等号，$A(\theta)$ 是严格的凸函数。

关于凸集、凸函数的定义，可以参看凸优化教程 知乎专栏 或凸优化经典教材 cvxbook by Stephen Boyd

指数分布族实例#

回顾指数族的规范形式，下面我们证明几种常见的分布，属于指数族。

伯努利分布（两点分布）#

伯努利分布的概率质量函数（伯努利分布是离散的，所以是概率质量函数）为：

其中，$\lambda$ 是这个伯努利分布的参数（事件发生的概率），$x =0$ （事件不发生），$x =1$ （事件发生）。不存在其他的 $x$ 取值。

我们将式子改写：

我们取

可证伯努利分布属于单参数指数族。

泊松分布#

泊松分布的概率质量函数如下：

取

可证泊松分布属于单参数指数族。

高斯分布（正态分布）#

高斯分布的概率密度函数如下

取

可证高斯分布属于多参数指数族。

指数族的性质#

充分统计量#

关于充分统计量的理解，在本文之外，还可以参看 知乎专栏 或 博客。这些材料对理解内容也会有很大帮助。本文的笔记内容，也部分来自于这些材料。

记 $X_1,\cdots,X_n$ 是 $X$ 的一组样本。在观测前，样本$X_1,\cdots,X_n$ 是随机变量，在观测后，样本 $X_1,\cdots,X_n$ 是具体的值。

在数理统计的角度，我们希望通过样本，来推断原分布。充分统计量 Sufficient Statistic 作为统计量 Statistic 是定义在样本空间上的可测函数，记作 $T(X_1,\cdots, X_2)$ 很多地方也直接写作 $T(X)$。作为统计量，它缩减了原来随机变量包含的信息。

比如说，求样本均值时，样本值的顺序，是我们不关心的信息。

对于一组样本，样本本身会存在一个联合概率密度函数，可以记作 $f(x)$ 。如果这个分布本身不存在参数（或参数已知），那么这个函数本质上就刻画了这一组样本包含的所有信息。

上述的联合概率密度函数，若存在未知的参数 $\theta$，则记作 $f(x;\theta)$ 或 $f_\theta(x)$。给定统计量 $T$ 的值 $T=t$，如果对应的条件分布 $F_\theta(X|T=t)$ 是一个与未知参数 $\theta$ 无关的分布（也就是说，是一个确定的分布）那么这个统计量 $T$ 就是一个充分统计量 Sufficient Statistic

充分统计量，保留了关于参数 $\theta$ 的全部有用信息，消除了无用信息。

在充分统计量的基础上，我们更近一步，介绍极小充分统计量 Minimum Sufficient Statistic。在直觉上，我们肯定希望充分统计量的形式越简单越好，极小充分统计量的定义就是这么来的。

如果 $T^\star = T^\star(X)$ 是一个充分统计量，对于任意的充分统计量 $T=T(X)$，存在可测函数 $\varphi$，使得 $T^\star = \varphi(T)$ 那么， $T^\star$ 是极小充分统计量。

这个定义的逻辑在于：如果 $T^\star$ 是充分统计量，那么 $T$ 一定是充分统计量。

导数与期望#

学习期望时，我们知道，求解期望是在算一个积分。但指数分布族的特殊性质能将期望与导数联系起来。而求导一般比积分简单，因此我们会更喜欢导数。

我们对累积量生成函数 Cumulant Generating Function $A(\theta)$ 求一阶导，可以得到充分统计量 $T$ 的期望。

这里的公式比较绕，有几个点需要注意：

1. 为什么对于 $\theta^T$ 求导？可以简单理解成为了保证应用求导的链式法则时， $\langle\theta,T(x) \rangle$ 求导出来的东西是 $T(x)$ 而不是 $T(x)^T$
2. 为什么求导符号和积分符号可以换？这里满足勒贝格控制收敛定理 Dominated Convergence Theorem
3. 为什么式子里又多出了一个 $A(\theta)$ ？我们发现分母部分正好可以提出一个配分函数 $Z(\theta)$，这个量是与积分变量 $x$ 无关的，因此我们可以按照指数的运算法则，把它移进去。这一步可以参考上文的 几种等价形式 那个小节。
4. 最后一步怎么变成期望的？因为 $f_\mathbf{X}(x;\theta)$ 是概率分布。

导数与方差#

对累积量生成函数 $A(\theta)$ 求二阶导，可以得到充分统计量 $T$ 的方差。

与上一节类似，这里也用到了导数积分互换，具体细节可以参看勒贝格控制收敛定理。

关于矩阵、向量的求导和转置，可以参看 博客园博客 。博客以及文中的引用链接给出了详细的解释。

参数化#

所谓参数化 parameterization 意味着用参数来表示。

如果指数族的参数 $\theta$ 的元素是线性无关的，充分统计量 $T(x)$ 的元素也是线性无关的，那么我们可以称这个指数族为最小指数族 minimal exponential family

似乎没有 minimal exponential family 的对应中文翻译，所以粗暴字面翻译最小指数族。但感觉翻译成最简指数族可能更加贴切一点。原因如下：
对于那些非 minimal 的指数族 (non-minimal) 的指数族，我们可以通过某种合适的参数替换或参数变换，得到一个最小指数族。

最小指数族对数配分函数 $A(\theta)$ 是严格的凸函数，满足 Fenchel's inequality。在介绍 Fenchel 不等式之前，首先引入凸共轭。

参考 维基百科
凸共轭 Convex Conjugate（也称 Fenchel Conjugate）
对于原空间 $X$ 上的扩充实值函数 extended real-valued function

Copy$$f: X\rightarrow\mathbb R~\cup~\{-\infty, +\infty\}$$

它在对偶空间 dual space $X^*$ 上的共轭函数 conjugate function 记作

Copy$$f^*=X^*\rightarrow\mathbb R~\cup~\{-\infty, +\infty\}$$

我们定义对偶空间中的点 $x^*\in X^*$ 与原空间中的点 $x\in X$ 的对应关系是：

Copy$$f^*(x^*)=\sup\{\langle x^*,x\rangle-f(x)\}$$

其中，$\sup$ 是 $\rm supremum$，即最小上界（上确界）。还有 $\inf (\rm infimum)$ 是最大下界（下确界）与 $\max \rm(maximum)$ 和 $\min (\rm minimum)$ 的区别在于：
CSDN 博客，知乎专栏

1. 实值函数的必有上确界 / 下确界（一定能取到）。但不一定有最大值或最小值（可能最大 / 最小值点在定义上会取不到）。比如 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$。
2. 如果最大值 / 最小值能取到，就是上确界 / 下确界。

对于 $A(\theta)$ 来说，其凸共轭 $A^*(\theta^*)$ 是

我们定义 $\mu = \mathbb E[T(X)]$，于是 $\dfrac{\partial}{\partial\theta^T}\left(\langle\theta^*,\theta\rangle-A(\theta)\right) = \theta^*-\mu$ 。

因此，当 $\theta^*=\mu$ 时，导数值为零，取到上确界。对应凸共轭为 $A^*(\mu)=\langle\mu,\theta\rangle-A(\theta)$，稍作变形我们得到

Fenchel 不等式 Fenchel's inequality
另一方面，根据 Fenchel 不等式，任意 $x\in X,~x^*\in X^*$ 有

由于 $\mu\in\partial A(\theta)$ 上式取到等号。

均值表示法 指数族可以采用标准参数化 canonical parameterization 来表示，也可以以均值参数化 mean parameterization 来表示。因为 $\theta$ 与均值 $\mu$ 是一一对应的。即，既可以看做是 $\theta$ 的函数，也可以看做是均值 $\mu$ 的函数。

统计推断#

最大似然估计求总体均值#

首先回顾一下最大似然估计 Maximum Likelihood Estimation 的理念。

有一个未知的分布，我们有一系列的样本观测值。于是我们要拿着这些样本观测值，去反猜最有可能的分布。这就出现了两个问题：

1. 模型确定吗？一般为了简化问题，会告知模型。实际问题中，如果没有告知模型，可能需要逐个模型去尝试。
2. 参数确定吗？参数是不确定的。如果模型已知，那么一般操作是以这一组样本观测值去拟合模型，然后反推参数。

以最大似然估计求总体均值 $\mu$ 。步骤：

1. 已知 n 次重复采样的独立同分布样本观测值构成集合 $\mathcal D=(x_1,x_2,\cdots,x_N)$
2. 写出似然函数。方法是直接把这些样本值带入概率密度函数，并将结果相乘。

3. 对似然函数取对数，并求导，得到 score function

4. 令导数为 0，解似然方程。

最大似然估计，本质是让似然函数取到极大值。但也有特殊情况：

1. 如果对数似然函数单调，导致导数零点不存在
2. 或由于样本太少，导致导数零点虽然存在但取不到的情况发生

一般会取端点值。

我们定义总体均值 $\mu = \mathbb E[T(X)]$，结合上式，我们得到

这个等式（红色等号）之所以能够成立，我们在上面的 导数与期望 小节中已经证明。

$\hat\mu_{MLE}$ 是无偏的。因为

$\hat\mu_{MLE}$ 是有效的。可以证明 $\hat\mu_{MLE}$ 是最小方差无偏估计 uniformly minimum-variance unbiased estimator (UMVUE)

上面我们说到，对数似然函数的一阶导数也称为 score function 记作

其中， $X$ 是样本序列 $\{X_1,X_2,\cdots, X_n\}$，对应的样本观测值为 $\{x_1, x_2,\cdots,x_n\}$

参考 知乎问答，我们引入费舍尔信息 Fisher Information。费舍尔信息是 score function 的二阶矩 second moment。

Fisher Information 是用于衡量参数估计的精确度的。
N 次观测得到的 Fisher Information 是单次观测得到的 Fisher Information 的 N 倍。
后文中我们将以单次观测的 Fisher Information 为例

score function 是关于 $\theta$ 的函数，显然这个 fisher information 矩阵也是关于 $\theta$ 的。 参考 维基百科 和 网络博客 易证明：

此处根据勒贝格收敛定理，导数与积分发生互换。
离散情况将积分号替换成求和即可。可能会产生一个 N 倍关系。

因此 $I(\theta) = \mathbb E[S^2(X;\theta)] - \mathbb E^2[S(X;\theta)] = Var[S(X;\theta)]$。即 fisher information 是 score function 的方差。

由于此处 $S(X;\theta)$ 是二阶可导的，因此可以证明：

证明过程类似，由于

Copy$$\begin{align*} \mathbb E\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\log L(X;\theta)\right] &= \int_X \frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\log L(X;\theta)f(x;\theta)~{\rm d}x = \int_X\frac{\partial}{\partial\theta}S(X;\theta)f(x;\theta)~{\rm d}x \\ &=\int_X\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial\theta}f(x;\theta)}{f(x;\theta)}\right)f(x;\theta)~{\rm d}x\\ &=\int_X\left(\frac{\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}f(x;\theta)}{f(x;\theta)}-\left(\frac{\frac{\partial}{\partial\theta}f(x;\theta)}{f(x;\theta)}\right)^2\right)f(x;\theta)~{\rm d}x \\ &={\color{red} 0}-\int_X\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\log L(X;\theta)\right)^2 f(x;\theta)~{\rm d}x \\ &=-\int_X S^2(X;\theta)f(x;\theta)~{\rm d}x\\ &=-\mathbb E[S^2(X;\theta)] \end{align*}$$

红色部分积分为 0 是因为积分号与二阶导互换后，求导得 0
离散情况将积分号替换成求和即可。可能会产生一个 N 倍关系。

我们于此总结一下 Fisher Information 的几个等价替换式：

另一方面，我们有 $L(\theta) = f_X(x;\theta) = h(x)\exp\{\langle\theta, T(x)\rangle-A(\theta)\}$
取对数然后求二阶导后，我们得到：

所以，可以得到：

我们发现，自然参数 $\theta$ 的 Fisher Information 正好是充分统计量的方差 $Var[T(X)]$

另一方面，

【未完待续】